이번 해설은 511 keV 광자의 산란각을 역으로 구하는 문제와 800 keV 광자의 컴프턴 끝단·의심 기록 판정 문제를 다룹니다. 네이버의 문제 1·2는 Blogger의 기록 A·B와 같은 조건입니다.
창작 예상문제의 학습용 모범답안입니다. 실제 기출·공식 정답·공식 배점이 아닙니다. 먼저 문제를 풀었다면 마지막의 채점 포인트로 빠진 근거를 확인해 보세요.
1. 조건과 기호부터 정리합니다
두 문제 모두 광자 한 개가 처음에 정지한 자유전자와 한 번 컴프턴 산란하는 모형을 사용한다. 전자의 결합에너지·초기 운동은 무시한다. 제시한 수치는 계산용 지정값이며 측정 불확도는 고려하지 않는다.
E는 입사광자 에너지, E′는 산란 직후 광자 에너지, T는 반동전자의 운동에너지이다. θ는 입사광자의 원래 진행 방향과 산란광자의 진행 방향 사이의 각도이며 0° 이상 180° 이하이다. 반동전자의 각도가 아니다.
전자 정지에너지는 mₑc² = 511 keV로 둔다. mₑ는 전자의 정지질량, c는 진공에서 빛의 속도이다. 모든 계산은 keV로 통일하고, 중간값을 유지한 뒤 최종 에너지는 소수 첫째 자리까지 표시한다. 각도는 도(°)로 답한다.
계산을 짧게 나누기 위해 M = mₑc², α는 입사광자 에너지를 전자 정지에너지로 나눈 무차원 값, D는 입사광자 에너지를 산란광자 에너지로 나눈 무차원 값으로 둡니다. 아래의 min과 max는 각각 최솟값과 최댓값을 뜻합니다.
정지한 자유전자 모형의 에너지·운동량 보존을 함께 적용한 광자 에너지 관계는 다음과 같습니다. T는 전자의 총에너지가 아니라 운동에너지입니다.
역산할 때는 먼저 양변을 정리해 D를 만들면 긴 식을 줄일 수 있습니다.
cos θ가 −1 이상 1 이하인지 먼저 확인합니다. 이 범위를 벗어난 수는 계산기에서 각도로 바꿀 수 없으며, 주어진 모형과 입력 자료가 함께 성립하지 않는다는 뜻입니다.
2. 문제 1·기록 A: 산란각을 거꾸로 구합니다
주어진 값은 E = 511 keV, E′ = 204.4 keV, M = 511 keV입니다. 두 비율에서 keV가 약분되므로 α와 D에는 단위가 없습니다.
이 값을 역산식에 넣습니다.
0° 이상 180° 이하에서 cos θ = −0.5를 만족하는 각도는 θ = 120°입니다. 계산기를 쓴다면 DEG 모드에서 역코사인 기능을 사용합니다. 여기서 얻은 120°는 광자의 산란각이며, 반동전자의 각도가 아닙니다.
반동전자의 운동에너지는 입사광자 에너지에서 산란광자 에너지를 뺍니다.
= 306.6 keV
에너지 합계 검산: 204.4 keV + 306.6 keV = 511.0 keV로 입사에너지와 일치합니다.
각도 재대입 검산: α = 1이고 cos 120° = −0.5이므로 분모는 다음과 같습니다.
문제 1 모범답안: 광자 산란각은 120°, 반동전자의 운동에너지는 306.6 keV이다. 에너지 합계와 산란식 재대입이 모두 입력 자료와 일치한다.
3. 문제 2·기록 B: 먼저 경계값을 구합니다
이번에는 E = 800 keV, M = 511 keV입니다. 입사에너지가 고정되어 있으므로 광자 산란각이 커질수록 분모의 1 − cos θ가 커집니다. θ = 180°에서 cos θ = −1, 따라서 1 − cos θ = 2입니다. 이때 산란광자의 에너지는 최소, 반동전자의 운동에너지는 최대입니다.
수치 대입에서는 겹분수를 피하려고 분자와 분모에 M을 곱한 같은 식을 씁니다.
≈ 193.7 keV
분자의 keV²를 분모의 keV로 나누므로 결과 단위는 keV입니다. 최대 전자 운동에너지는 아직 반올림하지 않은 광자 에너지로 계산합니다.
= 606.347702… keV
≈ 606.3 keV
검산: 193.652297… keV + 606.347702… keV = 800 keV입니다. 표시값만 더해도 193.7 keV + 606.3 keV = 800.0 keV가 됩니다.
따라서 이 모형의 허용 범위는 산란광자 에너지 193.652297… keV 이상 800 keV 이하, 반동전자 운동에너지 0 keV 이상 606.347702… keV 이하입니다. 0°에서의 T = 0은 에너지 전달이 없는 전방 방향의 극한입니다. 경계 비교에는 반올림 전 값을 사용합니다.
4. 합계가 맞는 기록도 성립하지 않을 수 있습니다
의심 기록은 E′ = 160 keV, T = 640 keV입니다. 160 + 640 = 800이므로 에너지 합계만은 맞습니다. 그러나 이 조건은 충분하지 않습니다.
첫 번째 판정: 범위 비교. 160 keV는 허용되는 산란광자 최소 에너지 193.652297… keV보다 작습니다. 동시에 640 keV는 최대 전자 운동에너지 606.347702… keV보다 큽니다. 따라서 주어진 단일 산란 모형으로는 성립하지 않습니다.
두 번째 판정: 각도 역산. D를 구한 다음 역산식에서 α의 역수는 M을 E로 나눈 값이라는 점을 사용합니다.
−1.555는 코사인의 허용 범위 [−1, 1]을 벗어납니다. 따라서 대응하는 실수 산란각은 없습니다. 억지로 180°로 고치거나 범위를 벗어난 수를 반올림해 각도로 만들면 안 됩니다.
이 판정은 “주어진 정지 자유전자·한 번의 산란 조건에서 불가능하다”는 뜻입니다. 실제로 이런 기록이 관찰되었다면 에너지 교정, 사건 분류, 다중 산란 또는 다른 상호작용 등 가정과 기록부터 점검해야 합니다. 이 문제의 수치만으로 실제 원인을 특정할 수는 없습니다.
5. 컴프턴 끝단은 전자가 받은 최대 에너지입니다
문제의 이상적인 검출 조건에서는 반동전자가 받은 운동에너지가 모두 검출기에 남고, 산란광자는 더 이상 에너지를 남기지 않고 탈출합니다. 이 단일 산란 성분의 검출 에너지는 T입니다. 따라서 컴프턴 끝단에 해당하는 에너지는 Tₘₐₓ ≈ 606.3 keV입니다.
θ = 180°에서도 산란광자에는 약 193.7 keV가 남습니다. 그래서 컴프턴 끝단 606.3 keV는 입사광자 에너지 800 keV보다 작습니다. 산란광자가 가질 수 있는 최소 에너지 193.7 keV를 컴프턴 끝단으로 쓰지 않습니다.
800 keV 전부가 검출기에 흡수되는 전흡수 조건과도 구분합니다. 실제 검출기에서는 에너지 분해능, 다중 산란, 입자·광자의 탈출 등으로 분포가 달라질 수 있습니다. 여기서는 제시된 이상적 단일 산란 성분만 판단합니다.
문제 2 모범답안: θ = 180°에서 E′ₘᵢₙ ≈ 193.7 keV, Tₘₐₓ ≈ 606.3 keV이다. 160 keV·640 keV 기록은 에너지 합계는 맞지만 허용 범위를 위반하고, 역산한 cos θ = −1.555도 불가능하므로 주어진 단일 산란으로 인정할 수 없다. 제시한 검출 조건의 컴프턴 끝단은 약 606.3 keV이다.
6. 학습용 채점 포인트: 총 20점 예시
다음 점수는 자기 점검용 예시이며 실제 시험의 채점 기준이 아닙니다. 올바른 동치식과 충분한 중간값을 썼다면 풀이 순서가 달라도 같은 논리를 인정합니다.
문제 1·기록 A: 8점
- 공통 모형·기호·단위를 바르게 사용: 1점
- 광자 에너지 식을 역산식으로 정리: 2점
- cos θ = −0.5와 θ = 120°: 2점
- T = 306.6 keV와 에너지 합계 검산: 2점
- θ를 재대입하여 E′ = 204.4 keV 확인: 1점
문제 2·기록 B: 12점
- 경계값이 θ = 180°에서 발생하는 이유: 2점
- E′ₘᵢₙ ≈ 193.7 keV의 식·단위·계산: 2점
- Tₘₐₓ ≈ 606.3 keV와 합계 검산: 2점
- 의심 기록의 두 에너지를 허용 범위와 비교(합계 일치만으로 불충분함을 명시): 2점
- cos θ = −1.555와 성립 불가 판정: 2점
- 컴프턴 끝단·잔여 광자 에너지·검출 가정을 구분: 2점
7. 자주 틀리는 지점
① E와 E′를 뒤집어 비율을 만드는 실수: 이번 두 사건에서 광자는 전자에 에너지를 주므로 산란광자 에너지가 입사에너지보다 작습니다. D는 입사광자 에너지를 산란광자 에너지로 나눈 값입니다.
② keV와 MeV를 섞는 실수: 511 keV = 0.511 MeV입니다. 한 비율 안에서는 같은 단위를 사용해야 합니다.
③ 각도 모드·각도 주체를 혼동하는 실수: θ는 광자 산란각이고, 문제의 단위는 도(°)입니다. 계산기는 DEG 모드로 둡니다.
④ 전자 운동에너지에 511 keV를 더하는 실수: 정지에너지를 더한 값은 전자의 총에너지입니다. 이 문제에서 묻는 값은 운동에너지 T입니다.
⑤ 에너지 합계가 맞으면 충분하다고 보는 실수: 단일 컴프턴 산란은 에너지와 운동량 보존을 동시에 만족해야 합니다. 허용 범위와 cos θ까지 확인합니다.
⑥ 180°에서 광자가 에너지를 전부 넘긴다고 보는 실수: 유한한 입사에너지에서 산란광자 에너지는 0이 아닙니다. 컴프턴 끝단과 전흡수 에너지를 구분합니다.
⑦ 중간값을 너무 일찍 반올림하는 실수: 경계값 비교와 최종 뺄셈까지 충분한 자릿수를 유지하고 마지막에만 반올림합니다.
관련 개념 다시 읽기: 컴프턴 산란, 각도로 광자 에너지 구하기
확인 기준과 연결 글
분류: 원자력이론. 실제 기출문제나 공식 해설이 아닌 학습용 창작 예상문제입니다. 실제 작업의 선량·위험도·차폐 성능을 판단하는 계산에는 쓰지 않습니다.
검증 기준일: 2026년 10월 20일(한국시간). 기존 개념 글의 최초 공개일은 2026년 10월 18일(한국시간)입니다. 개념 글의 발행일과 이번 문제·해설의 자료 확인일을 구분합니다.
IAEA 2014년 교재의 컴프턴 에너지 관계와 NIST 2022 CODATA 전자 정지에너지를 대조했습니다. 문제에서는 지정한 근삿값 511 keV를 일관되게 사용합니다. 오래된 교재의 출판연도나 CODATA 조정연도는 이번 확인일을 뜻하지 않습니다.
IAEA, Diagnostic Radiology Physics, 2.2.4절, 식 (2.13)·(2.15), 인쇄쪽 19–20
NIST, 2022 CODATA 물리상수 목록: electron mass energy equivalent in MeV
Blogger 문제 먼저 풀기: 산란각 역산·컴프턴 끝단·기록 검증
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