반감기 실전문제 상세풀이 | 배경 보정·로그 역산·시각 검산

이번 글은 별도의 반감기 실전문제 2개에 대한 상세풀이입니다. 먼저 문제를 풀고 싶은 분은 아래 문제 확인 부분까지만 읽은 뒤 답안을 작성해 보세요.

반감기 식을 알고 있어도 측정값에 배경이 섞여 있거나, 시간을 거꾸로 구해야 하면 계산 순서가 헷갈리기 쉽습니다. 이번에는 그 두 상황을 직접 풀어 봅니다.

아래 두 문항은 방사선취급감독자 공부를 위해 직접 만든 학습용 예상문제입니다. 실제 기출문제의 복원이나 공식 예상문항이 아니며, 수치는 모두 가상 조건입니다. 실제 선원의 취급·보관·폐기 또는 작업 가능 여부를 판정하는 기준이 아닙니다.

문제 확인

1. 실전문제: 계수시간이 다를 때 반감기를 찾기

같은 날 같은 시료를 동일한 검출기로 두 차례 계측하였다. 각 시각은 계측 구간의 중앙 시각이다. 다음 자료에서 총계수는 시료와 배경의 신호를 모두 포함한다.

• 09:00을 중앙으로 한 5분 계측: 총계수 6,500 counts
• 15:00을 중앙으로 한 10분 계측: 총계수 4,000 counts
• 별도로 실시한 10분 배경 계측: 1,000 counts. 배경 계수율은 하루 동안 일정하다.

counts는 검출기에 기록된 계수의 수이고, cpm은 1분당 계수율이다. 측정 시간이 다르면 각 계수를 먼저 계수율로 바꾼다. 순계수율은 총계수율에서 배경 계수율을 뺀 값이다.

계산 가정

• 관측되는 시료 신호는 한 방사성핵종에 의한 것이며, 해당 핵종의 물리적 붕괴만 일어난다. 새 생성·유입·시료 손실과 딸핵종의 신호 기여는 없다.
• 시료와 검출기의 위치, 검출효율, 방출확률과 측정 조건은 일정하다. 따라서 배경을 뺀 순계수율은 해당 핵종의 방사능에 비례한다.
• 계측 구간 내 붕괴 변화와 계수통계 변동, 불감시간 손실은 무시한다. 각 계수율을 중앙 시각의 대표값으로 취급하는 교육용 근사이다.

(1) 배경 계수율과 09:00, 15:00의 순계수율을 각각 cpm으로 구하시오.

(2) 두 중앙 시각 사이의 경과 시간을 사용하여 시료 핵종의 반감기를 시간 단위로 구하시오.

(3) 같은 날 18:00의 예상 순계수율과 총계수율을 각각 cpm으로 구하시오.

(4) “배경을 빼지 않은 총계수율의 비를 그대로 붕괴식에 넣어도 반감기가 같다”는 설명이 옳은지 판단하고, 이유를 한 문장으로 쓰시오.

2. 실전문제: 분수 반감기와 목표 도달 시각

가상의 단일 방사성핵종 시료가 같은 날 08:00에 1.60 MBq의 방사능을 가졌다. 물리적 반감기는 150분이다. 새 생성·유입·시료 손실 없이 물리적 붕괴만 일어나며, 딸핵종의 방사능은 합산하지 않는다.

여기에서 300 kBq는 계산 연습을 위해 임의로 정한 목표값이다. 허가·폐기·안전 기준이나 작업 시작 기준을 뜻하지 않는다.

(1) 같은 날 11:45의 방사능을 kBq 단위로 구하시오. 소수 첫째 자리까지 나타내시오.

(2) 08:00의 방사능을 기준으로 11:45까지 감소한 비율을 백분율로 구하시오. 소수 첫째 자리까지 나타내시오.

(3) 방사능이 처음으로 300 kBq 이하가 되는 데 필요한 경과 시간을 분 단위로 구하시오. 계산값은 소수 첫째 자리까지 표시하되, 최종 시각 판단에는 반올림 전 값을 사용하시오.

(4) 시각을 1분 간격의 HH:MM으로만 기록한다. (3)의 조건을 실제로 만족하는 첫 번째 분 경계 시각을 구하시오. 예를 들어 목표값을 통과하는 때가 12:10:20이면 12:11로 기록한다. 이 조건에서는 단순히 가장 가까운 분으로 반올림하지 않는다.

풀이에는 경과 시간, 반감기 횟수, 단위 변환을 쓰시오. 자연로그 ln과 계산기를 사용해도 된다. 1 MBq = 1,000 kBq이다.

1. 문제 1 풀이: 계수율을 맞춘 다음 배경을 뺍니다

서로 다른 계측시간의 총계수는 바로 비교할 수 없습니다. 먼저 분당 계수율로 바꾼 뒤 같은 단위의 배경 계수율을 뺍니다. 배경 차감은 시료 신호를 분리하는 절차이고, 방사성붕괴 계산은 시료 신호가 시간에 따라 줄어드는 비율을 구하는 절차입니다.[3]

① 각 자료를 cpm으로 변환

R_b = 1,000 counts10 min = 100 cpm

R_g,09 = 6,500 counts5 min = 1,300 cpm

R_g,15 = 4,000 counts10 min = 400 cpm

아래첨자 b는 배경, g는 총계수율, n은 순계수율을 뜻합니다. 측정시간은 min으로 나타냈습니다.

② 배경을 뺀 순계수율

R_n,09 = 1,300 − 100
= 1,200 cpm

R_n,15 = 400 − 100
= 300 cpm

③ 순계수율의 비로 반감기 역산

09:00부터 15:00까지는 6시간입니다. 같은 핵종과 같은 측정 조건이므로 순계수율의 비를 방사능의 비로 사용할 수 있습니다.

R_n,15R_n,09 = 300 cpm1,200 cpm
= 14 = 2⁻²

T = 6 h2 = 3 h

따라서 반감기는 3시간입니다. 6시간 뒤의 순계수율이 처음의 25%이므로 반감기 두 번이 지난 결과입니다.[1][2]

④ 18:00의 순계수율과 총계수율

15:00부터 18:00까지는 3시간이므로 반감기 한 번입니다. 시료 신호만 먼저 줄이고, 일정하다고 주어진 배경을 마지막에 더합니다.

R_n,18 = 300 × 2⁻¹
= 150 cpm

R_g,18 = 150 + 100
= 250 cpm

⑤ 설명 문항의 모범답안

“옳지 않다. 총계수율에는 시간에 따라 일정한 배경이 더해져 있으므로, 배경을 뺀 순계수율의 비에만 이 시료의 붕괴식을 적용한다.”

400 cpm1,300 cpm ≈ 0.3077

이 값은 순계수율의 비 0.25와 다릅니다. 또한 배경을 빼는 행위가 핵종의 물리적 반감기를 바꾸는 것은 아닙니다. 측정 신호 중 시료에 해당하는 부분을 구분하는 것입니다.

검출효율의 수치가 주어지지 않았으므로 1,200 cpm을 그대로 1,200 Bq라고 쓰면 안 됩니다. 이 문제에서 일정한 효율은 두 순계수율의 비에서 약분되지만, 절대 방사능으로 환산할 때는 별도의 정보가 필요합니다.[3]

2. 문제 2 풀이: 1.5번의 반감기도 그대로 계산합니다

① 시간과 방사능 단위 통일

11:45 − 08:00
= 3 h 45 min = 225 min

A₀ = 1.60 MBq
= 1,600 kBq

n = 225 min150 min = 1.5

② 11:45의 방사능

단일 핵종의 지수붕괴 관계에 반감기 횟수를 넣습니다. 횟수가 정수가 아니어도 같은 식을 사용합니다.[1]

A = A₀ × 2⁻ⁿ

A = 1,600 × 2^−1.5
≈ 565.6854 kBq

소수 첫째 자리까지 쓰면 565.7 kBq입니다. 반감기 한 번 뒤 800 kBq와 두 번 뒤 400 kBq 사이에 있으므로 결과의 범위도 맞습니다. 두 값의 산술평균 600 kBq를 취하는 선형 보간은 정확한 붕괴 계산이 아닙니다.

③ 감소한 비율

남은 비율 = 2^−1.5
≈ 0.353553

감소율 = (1 − 0.353553) × 100%
≈ 64.6%

남은 비율 약 35.4%와 감소한 비율 약 64.6%를 구별합니다. 중간 계산은 충분한 자릿수를 유지한 뒤 최종 답에서 반올림합니다.

④ 300 kBq에 도달하는 경과 시간

방사능이 단조롭게 감소하므로 처음 300 kBq 이하가 되는 경계는 A = 300 kBq인 순간입니다. t는 08:00부터 지난 시간이며, 단위는 분입니다.

300 kBq = 1,600 kBq × 2⁻ⁿ

2ⁿ = 1,600 kBq300 kBq

양변에 자연로그를 취합니다. 로그의 입력은 같은 단위끼리 나눈 무차원 비입니다. 방사능의 숫자만 읽고 MBq와 kBq를 섞으면 다른 답이 됩니다.

n = ln(1,600300)ln 2
≈ 2.41504

t = T × n
= 150 min × 2.415037499…
≈ 362.2556249 min

요구한 표시값은 362.3분입니다. 반올림 전 경계 시각은 같은 날 약 14:02:15.3입니다.

⑤ 1분 간격으로 기록할 때의 최초 시각

14:02는 경계보다 이릅니다. 목표값 이하를 만족하는 첫 번째 분 경계는 14:03입니다. 반올림과 올림이 무엇을 보장하는지 확인하는 단계입니다.

n_14:02 = 362 min150 min

A_14:02 = 1,600 × 2^−n(14:02)
≈ 300.355 kBq > 300 kBq

n_14:03 = 363 min150 min

A_14:03 = 1,600 × 2^−n(14:03)
≈ 298.970 kBq ≤ 300 kBq

시간 답을 검산할 때 방사능을 정수 kBq로 먼저 반올림하면 14:02의 미달성을 놓칠 수 있습니다. 조건 판정은 반올림 전 계산값으로 합니다.

3. 모범답안 한눈에 보기

• 문제 1 (1): 배경 100 cpm, 09:00 순계수율 1,200 cpm, 15:00 순계수율 300 cpm.
• 문제 1 (2): 반감기 3시간.
• 문제 1 (3): 18:00 순계수율 150 cpm, 총계수율 250 cpm.
• 문제 1 (4): 틀린 설명. 일정한 배경이 더해진 총계수율의 비는 시료의 붕괴 비와 다르다.
• 문제 2 (1): 11:45의 방사능 565.7 kBq.
• 문제 2 (2): 감소한 비율 약 64.6%.
• 문제 2 (3): 경과 시간 약 362.3분. 판정용 반올림 전 값은 약 362.2556249분.
• 문제 2 (4): 같은 날 14:03. 14:02는 아직 300 kBq보다 크다.

4. 학습용 채점 포인트

아래 배점은 자기 점검을 위해 임의로 만든 기준이며, 실제 시험의 공식 배점이나 채점 기준이 아닙니다. 총 20점으로 확인합니다.

문제 1: 10점

• 3점: 서로 다른 계측시간을 각각 적용해 계수율로 환산하고, 배경 100 cpm과 두 순계수율을 정확히 썼다.
• 3점: 순계수율의 비 0.25, 반감기 두 번, 경과 시간 6시간을 연결해 반감기 3시간을 구했다.
• 2점: 18:00의 순계수율 150 cpm에 일정한 배경 100 cpm을 더해 총계수율 250 cpm을 구했다.
• 2점: 총계수율의 비를 사용하면 안 되는 이유를 배경의 가산성과 연결해 설명했다.

문제 2: 10점

• 2점: 경과 시간 225분과 초기 방사능 1,600 kBq로 단위를 통일했다.
• 2점: 반감기 1.5회에 지수식을 적용해 565.7 kBq를 구했다.
• 2점: 남은 비율과 감소한 비율을 구별해 감소율 64.6%를 구했다.
• 2점: 무차원 방사능 비와 로그 역산으로 경계 시간 약 362.2556분을 구했다.
• 2점: 목표 이하 조건을 유지하도록 최초 분 경계 14:03을 골랐으며, 14:02가 아직 목표보다 큰 이유를 설명했다.

답만 맞았는지보다 단위, 기준 시각, 배경 처리와 식의 적용 대상을 함께 확인하세요. 두 문제 모두 정답에 시간 또는 계수율·방사능 단위가 있어야 합니다.

5. 자주 틀리는 지점

• 총계수끼리 바로 나누기: 5분 계측과 10분 계측은 비교 기준이 다릅니다. 먼저 각각의 계측시간으로 나눕니다.
• 총계수율 전체를 반감시키기: 시료에 대한 물리적 붕괴식이 일정한 배경까지 절반으로 만들지는 않습니다.
• 배경 차감을 붕괴보정으로 부르기: 배경 차감은 신호를 분리하고, 붕괴보정은 기준 시각 차이에 따른 변화를 반영합니다.
• cpm을 Bq로 그대로 쓰기: 계수율과 붕괴율은 같지 않으며, 절대 방사능 환산에는 검출효율 등 추가 정보가 필요합니다.
• 시간을 직선적으로 줄이기: 반감기 1.5회에서는 두 이웃 값의 산술평균을 쓰지 않습니다.
• MBq와 kBq를 섞어서 로그 계산하기: 같은 물리량·같은 단위의 비를 먼저 만듭니다.
• 남은 비율을 감소율로 답하기: 남은 비율을 1에서 빼야 감소한 비율입니다.
• 목표 도달 시각을 일반 반올림하기: 이 문제는 목표 이하를 만족하는 첫 분 경계이므로 경계 이후의 분을 택합니다.

핵심 순서는 측정값 정리 → 단위 통일 → 시료의 붕괴 비 계산 → 목표 조건 검산입니다. 계산상 목표값을 만족했다는 사실만으로 실제 방사선 작업의 안전성을 결론 내리지는 않습니다.

참고자료와 연결 글

개념 글: 반감기, 몇 번 지났는지부터 세어 봅니다

[1] IAEA, Nuclear physics and reactor theory, 4.1~4.2절 · 물리적 반감기와 지수붕괴 모형. 수식은 자료의 인쇄 18쪽을 참고합니다.

[2] 미국 NRC, Half-life · 물리적 반감기의 정의.

[3] IAEA Nuclear Science Glossary, Activity·Background · 계수율과 방사능의 관계, 총계수율에서 배경 계수율을 빼는 순계수율의 의미.

자료 확인: 2026년 10월 20일(한국시간). 공식 자료는 개념 확인에 사용했으며, 문제의 수치·상황·모범답안·배점은 이 글을 위해 직접 구성했습니다.

문제 먼저 풀기