이 글은 SRI 시험 합격 당시 정리한 수기를 바탕으로 재구성했습니다. 학습 참고용 답안이며, 실제 채점자의 기준과 일치하는 지는 확인되지 않았습니다.
1. 문제
반감기가 짧은 단일 핵종을 일정 시간 계측하였다. 측정 중 붕괴를 무시하고 순계수율을 방사능으로 환산하면 어느 시각의 방사능을 얻는가? 측정 시작 시각의 방사능을 구하는 보정계수를 유도하고, 측정 전에 기다린 시간에 대한 보정과 구분하시오.
단일 지수감쇠를 가정하고 측정 중 검출효율과 방출확률은 일정하다. 배경은 적절히 차감했으며 불감시간·펄스 중첩·딸핵종의 성장에 따른 영향은 무시한다.
2. 모범답안
① 순계수를 측정시간으로 나누고 검출효율·방출확률로 환산한 값은 측정 구간의 평균 방사능이다. 이를 시작 시각의 방사능과 같다고 두면 과소평가한다.
② 측정 시작을 t=0, 측정시간을 τ, 붕괴상수를 λ=ln2/T₁/₂라 두면 A(t)=A₀e^(−λt)이다. 시간 평균은 다음과 같다.
Ā = (1/τ)∫₀^τ A₀e^(−λt)dt = A₀(1−e^(−λτ))/(λτ)
③ 따라서 시작 시각으로 환산하는 보정계수 f는 다음과 같다.
A₀ = Āf, f = λτ/(1−e^(−λτ))
④ 시료채취부터 측정 시작까지 Δ만큼 기다렸다면, 채취 시각의 방사능은 A채취=A₀e^(λΔ)이다. 측정 구간의 평균을 시작값으로 바꾸는 f와, 서로 다른 두 시각을 연결하는 지수 보정은 구별한다.
3. 문제를 풀기 위해 알아야 할 내용
3.1. 계수기는 한 시각이 아니라 구간 전체를 센다
순계수의 기대값을 N, 검출효율을 ε, 해당 방사선의 붕괴당 방출확률을 p라고 하면, 주어진 조건에서 다음 관계가 성립한다.
N = εp∫₀^τ A(t)dt, Ā = N/(εpτ)
관측한 순계수를 대입하면 Ā의 추정값을 얻는다. N을 단순히 εp로 나눈 것은 누적 붕괴수에 해당하며 방사능이 아니다. 시간을 나누어야 방사능이 되며, Bq로 나타내려면 시간을 초 단위로 사용한다. 한편 λτ를 계산할 때에는 λ의 시간 단위와 τ의 시간 단위를 일치시킨다.
수기의 ‘측정시간 동안의 방사성 붕괴’ 항목은 이 적분과 보정계수를 함께 적고 있다. 여기서는 계수율과 방사능, 시간 평균과 시작값이 섞이지 않도록 기호를 나누었다.
출처: 사용자 수기 취급.pdf 물리적 41쪽, 110번. 이 항목에는 별도 참고 쪽수 표기가 없다.
3.2. 보정 방향은 항상 먼저 확인한다
감쇠만 하는 시료에서 A₀>Ā>A(τ)이므로 f>1이다. 평균값에 1보다 작은 계수를 곱해 시작값을 구했다면 방향을 잘못 잡은 것이다.
λτ가 매우 작을 때 f≈1+λτ/2이므로 보정은 작아진다. 반대로 측정시간이 반감기와 비슷하면 단순히 ‘짧게 측정했다’고 보고 생략할 수 없다. 필요한 보정 여부는 목표 정확도와 함께 판단한다.
IAEA TRS 295(1989), 부록 I의 I-9.2절, 인쇄 64쪽(PDF 물리적 75쪽), 식 (I-9)~(I-12)도 측정 구간 보정과 채취 시각 보정을 따로 제시한다. 원문은 방사능 농도(Bq/kg)를 다루며, 같은 시료의 질량이 일정하면 방사능에도 같은 보정계수가 적용된다. 원문의 Aₙ은 측정 구간 평균, Aₛ는 측정 시작 시각에 대응한다. Aₛ의 설명에도 mean이라는 단어가 있지만, 식의 기준은 측정 시작 시각이므로 이 글에서는 Ā와 A₀를 구분한다.
아래 예제는 그 책의 수치 예제가 아니라 수기 공식을 확인하기 위해 새로 구성한 계산이다.
3.3. 한 반감기 동안 측정한 계산 예
반감기가 10.0분인 가상 핵종을 10.0분 동안 측정하여 평균 방사능 Ā=100 Bq를 얻었다고 하자. 이 예제에서 반감기와 측정시간은 같으므로 λτ=ln2이다.
f = ln2/(1−1/2) = 2ln2 ≈ 1.386
A₀ = 200ln2 Bq ≈ 138.629 Bq ≈ 139 Bq
A(τ) = A₀/2 = 100ln2 Bq ≈ 69.3 Bq
종료값은 반올림한 139 Bq를 2로 나눈 값이 아니라, 중간 반올림 없이 원식으로 계산한 값이다.
평균값 100 Bq를 시작값이라고 보고하면 실제 시작값을 분모로 한 과소평가율 (A₀−Ā)/A₀는 약 27.9%다. 한편 평균값에 곱하는 보정계수는 약 1.386, 즉 평균값을 약 38.6% 높이는 것이다. 두 백분율은 분모가 다르므로 같은 수가 아니다.
3.4. 기다린 시간과 실제 측정시간을 섞지 않는다
같은 예제에서 채취 후 10.0분을 기다렸다가 측정을 시작했다면, 채취 시각의 방사능은 시작값의 2배인 약 277 Bq다. 먼저 평균 100 Bq를 시작값 약 139 Bq로 바꾸고, 다시 채취 시각으로 거슬러 올라간다. 중간 반올림 없이 계산하면 약 277 Bq다.
측정 구간 전체를 대표하는 평균값에 ‘측정시간만큼 역붕괴’하는 e^(λτ)를 곧바로 곱하면 틀린다. 이 예제에서 100×2=200 Bq는 시작값이 아니다.
또한 이 글의 τ는 시료가 실제로 붕괴한 경과시간이다. 불감시간이 큰 장비에서 유효계측시간(live time)을 아무 설명 없이 대입하면 안 된다. 시간에 따라 계수 손실이 변하는 경우는 별도 측정모델이 필요하다. 여러 핵종의 신호나 딸핵종의 성장이 섞인 경우에도 단일 지수식 하나로 전체 신호를 보정하지 않는다.
4. 답안 마무리
‘평균값 → 측정 시작값 → 필요한 기준시각’의 순서를 적고, 각 시간의 정의와 보정 방향을 표시한다. 보정계수만 외우는 것보다 무엇을 어느 시각으로 옮기는지를 먼저 쓰는 것이 핵심이다.
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