이 글은 SRI 시험 합격 당시 정리한 수기를 바탕으로 재구성했습니다. 학습 참고용 답안이며, 실제 채점자의 기준과 일치하는지는 확인되지 않았습니다.
1. 문제
정지해 있던 질량수 234의 모핵이 알파입자를 방출하여 질량수 230의 딸핵으로 붕괴한다. 이 붕괴에서 두 입자의 운동에너지로 전환되는 에너지 Q가 4.84 MeV일 때, 알파입자의 운동에너지와 딸핵의 반동 운동에너지를 각각 구하시오.
딸핵은 바닥상태로 생성되며 다른 입자나 광자는 함께 방출되지 않는다고 가정한다. 두 입자는 비상대론적으로 취급하고, 질량의 비는 질량수의 비로 근사한다. 답은 유효숫자 3자리로 나타내시오. 제시한 Q값은 계산 연습을 위한 조건이다.
2. 모범답안
2.1. 운동량과 에너지 보존을 적용한다
모핵이 정지해 있었으므로 붕괴 전 총운동량은 0이다. 따라서 알파입자와 딸핵은 서로 반대 방향으로 움직이며, 운동량의 크기는 같다.
pα = pD
두 입자의 운동에너지 합은 주어진 Q값과 같다.
Tα + TD = Q = 4.84 MeV
여기서 pα와 pD는 각각 알파입자와 딸핵의 운동량 크기, Tα와 TD는 각각의 운동에너지이다. 운동량의 SI 단위는 kg·m/s이며, 이 문제의 에너지 단위는 MeV이다. 아래 첨자 D는 딸핵을 뜻한다.
2.2. 알파입자의 운동에너지를 계산한다
비상대론적 관계 T = p²/(2m)를 적용하면, 운동량이 같은 두 입자의 운동에너지는 질량에 반비례한다. 따라서 가벼운 알파입자가 더 큰 몫의 운동에너지를 얻는다.
식에서 mα는 알파입자의 질량, mD는 딸핵의 질량이다. 두 질량은 같은 단위를 사용하며 질량 비는 무차원이다.
그림 1. 알파입자의 운동에너지는 전체 에너지에 딸핵의 질량 비율을 곱하여 구한다.
계산 결과 알파입자의 운동에너지는 약 4.76 MeV이다.
2.3. 딸핵의 반동 운동에너지를 계산한다
딸핵도 운동량 보존 때문에 반대 방향으로 움직인다. 그 운동에너지를 반동 운동에너지라고 한다.
그림 2. 딸핵의 반동 운동에너지는 전체 에너지에 알파입자의 질량 비율을 곱하여 구한다.
따라서 정답은 Tα ≈ 4.76 MeV, TD ≈ 0.0827 MeV이다. 딸핵의 값은 82.7 keV로도 나타낼 수 있다.
3. 문제를 풀기 위해 알아야 할 내용
3.1. Q값 전체가 알파입자의 에너지는 아니다
이 문제에서는 Q가 알파입자와 딸핵의 운동에너지 합이다. 딸핵의 반동을 포함해야 하므로 Tα는 Q보다 작다. 두 입자가 에너지를 나누어 가지는 원리는 미국 로런스 버클리 국립연구소의 알파붕괴 설명에서도 확인할 수 있다.
3.2. 두 입자의 속력이 아니라 운동량의 크기가 같다
운동량은 질량과 속도의 곱이다. 질량이 다른 두 입자가 같은 크기의 운동량을 가지므로 속력은 서로 다르다. 비상대론적 근사에서는 더 가벼운 입자가 더 빠르게 움직이며 운동에너지도 더 크다.
계산식의 분자도 이 관계에 맞게 확인한다. 알파입자 에너지 식에는 딸핵 질량이, 딸핵 에너지 식에는 알파입자 질량이 들어간다. 보존법칙에서 에너지 분배식을 얻는 과정은 MIT 원자핵물리 강의자료의 Alpha Decay 절 PDF 2쪽에 제시되어 있다.
3.3. 반올림은 각 계산의 마지막에 한다
반올림 전 두 값은 약 4.75726496 MeV와 0.08273504 MeV이며, 합은 4.84 MeV이다. 먼저 반올림한 4.76 MeV를 Q(4.84 MeV)에서 빼면 0.08 MeV만 남아, 반동에너지의 유효숫자 3자리를 보존할 수 없다. 따라서 두 값은 각각 계산한 뒤 마지막에 반올림한다.
질량수를 이용한 계산은 질량 비의 근사다. 정밀 계산에서 핵질량이 주어지면 그 질량을 사용한다. 또한 딸핵이 들뜬상태로 생성되는 붕괴에서는 들뜸에너지를 별도로 고려해야 하므로, 이 문제의 조건을 그대로 적용해서는 안 된다.
출처
합격 수기: 「이론.pdf」 PDF 5쪽, ‘α붕괴에 대하여 설명’ 항목.
보조 학습자료: 「원자력기초이론.pdf」 PDF 38–39쪽, 알파붕괴 에너지 분배 계산.
Lawrence Berkeley National Laboratory, Alpha Decay.
MIT OpenCourseWare, 22.101 Applied Nuclear Physics, Lecture 22: Nuclear Decays, PDF 2쪽.
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