표에 0.4와 0.6의 값만 있는데 문제에서는 0.45의 값을 묻습니다. 이럴 때 두 값을 무조건 평균 내면 될까요?
선형 보간을 쓴다면, 가운데인 0.5에서는 두 값의 평균을 사용합니다. 하지만 0.45는 가운데가 아닙니다. 오늘은 표의 두 점 사이에서 값을 추정하는 ‘선형 보간법’을 정리해 봅니다. 방사선취급감독자 공부 중 표를 이용하는 계산을 연습할 때도, 먼저 문제에서 허용한 보간 방법을 확인하는 습관이 중요합니다.
1. 선형 보간법이란?
알고 있는 두 점을 직선으로 연결하고, 그 사이에 있는 값을 추정하는 방법입니다. 핵심은 ‘x가 전체 구간의 몇 %만큼 이동했는가’를 구한 뒤, y도 같은 비율만큼 이동시키는 것입니다.
다만 실제 현상이 반드시 직선이라는 뜻은 아닙니다. 두 점 사이를 직선으로 근사하는 계산이며, 실제 값과 차이가 날 수 있습니다.
2. 공식을 외우기 전에 비율부터
알고 있는 두 점을 (x₁, y₁), (x₂, y₂)라고 하겠습니다. x₁ < x₂이고, 구하려는 x가 두 값 사이에 있을 때 계산 순서는 다음과 같습니다.
이미지 설명: 위치 비율 r은 분자가 x − x₁, 분모가 x₂ − x₁인 분수입니다. 추정값 y는 y₁에 이 비율과 y₂ − y₁의 곱을 더한 값입니다.
말로 읽으면 ‘시작값에, 전체 변화량 중 내가 이동한 몫을 더한다’입니다. x₁과 x₂가 같으면 분모가 0이 되므로 이 식을 사용할 수 없습니다.
3. 숫자로 한 번 풀어보기
다음은 원리를 익히기 위해 만든 가상의 수치입니다. 실제 물질의 방사선 계수나 실측 자료가 아닙니다. x와 y는 모두 단위가 없는 값으로 두겠습니다.
x = 10일 때 y = 80
x = 30일 때 y = 120
x = 15일 때 y = ?
① x의 전체 구간은 30 − 10 = 20입니다.
② 시작점에서 이동한 거리는 15 − 10 = 5입니다.
③ 위치 비율 r은 20분의 5, 즉 4분의 1(0.25)입니다.
④ y의 전체 변화량은 120 − 80 = 40입니다.
⑤ y는 80에 40의 4분의 1(0.25 × 40)을 더한 90입니다.
이미지 설명: r은 20분의 5, 즉 4분의 1입니다. y는 80에 40의 4분의 1을 더하므로 90입니다.
정답은 90입니다. x가 전체 구간의 25% 지점에 있으니, y도 80에서 120으로 가는 길의 25% 지점인 90이 됩니다.
여기서 두 y값의 평균인 100을 답으로 쓰면 안 됩니다. 평균 100에 대응하는 x는 구간의 정중앙인 20입니다.
4. 단위는 어떻게 확인할까?
x, x₁, x₂의 단위는 서로 같아야 합니다. 예를 들어 에너지를 사용한다면 모두 keV로 맞추거나 모두 MeV로 맞춰야 합니다. 단위가 섞인 채로 숫자만 빼면 위치 비율부터 틀어집니다.
위치 비율의 분자와 분모는 같은 단위끼리 나누므로 단위가 없는 비율입니다. y₁과 y₂도 같은 단위로 맞추면, 최종 y의 단위는 그 y값들의 단위와 같습니다.
공식의 단위를 확인하는 것만으로도 단위 환산 누락을 발견할 수 있습니다.
5. 계산 후 10초 점검
- x가 두 기준점 사이인가? 범위 밖을 추정하는 것은 보간이 아니라 외삽입니다.
- r이 0부터 1 사이인가? 두 점 사이를 계산했다면 이 범위에 들어갑니다.
- y가 두 y값 사이인가? 선형 보간 결과는 두 끝값 사이에 있어야 합니다.
- 감소하는 표인가? y₂ − y₁이 음수가 되어도 그대로 계산합니다. 임의로 절댓값을 씌우지 않습니다.
- 정말 선형 보간을 사용해도 되는가? 문제나 자료가 로그 보간 등 별도 방법을 지정했다면 그 지침을 따라야 합니다. 급격한 변화나 불연속이 있는 구간에도 이 식을 무조건 적용하지 않습니다.
6. 확인 문제
선형 보간을 사용한다고 가정합니다. x = 2일 때 y = 18, x = 6일 때 y = 10입니다. x = 3일 때 y는 얼마일까요? 모든 값은 무차원입니다.
잠깐 직접 계산한 뒤 아래 풀이를 확인해 보세요.
풀이: 위치 비율의 분자는 3 − 2 = 1, 분모는 6 − 2 = 4이므로 r은 4분의 1입니다. y의 변화량은 10 − 18 = −8입니다. 따라서 y는 18에 −8의 4분의 1을 더한 18 − 2 = 16입니다.
y가 감소하는 상황이므로 18보다 작고 10보다 큰 16이 나옵니다.
오늘의 한 줄 정리
선형 보간은 ‘평균 내기’가 아니라 ‘구간에서 차지하는 비율만큼 이동하기’입니다. 두 기준점 선택 → 단위 통일 → 위치 비율 계산 → y값 계산 → 범위 확인, 이 순서로 연습해 보세요.
참고 자료
- NIST Digital Library of Mathematical Functions, §3.3 Interpolation, Linear Interpolation: https://dlmf.nist.gov/3.3#E14
- NIST Dataplot Reference Manual, Linear Interpolation: https://www.itl.nist.gov/div898/software/dataplot/refman2/ch3/lin_inte.pdf
이 글의 예제는 학습용으로 직접 구성했습니다. 특정 시험의 출제 여부나 빈도를 단정하는 내용이 아니며, 실제 업무에서는 사용하는 자료의 적용 조건과 절차를 별도로 확인해야 합니다.
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